Trigonometría

Práctica 4 del cuadernillo. Respuestas a los ejercicios 4 al 8.

 ∞   Trigonometría - Práctica 4

T.P. 3

Trabajo Práctico Nº 3.   Revisión evaluación Integradora I.

 ∞  Revisión Integradora I

 

T.P. 2

Trabajo práctico adicional a la práctica 3 del cuadernillo.

 

∞  T.P. 2  

Usando Derive para graficar…

El siguiente video muestra como graficar una función cuadrática.

Si bien la explicación, permite visualizar gráficos y parte algebraica (ecuaciones) en mosaicos verticales, podemos optar por ingresar la función y directamente clickear en Plot.

Graficar funciones

Los programas que sirven para graficar funciones son los siguientes:

• Microsoft Math: http://www.mediafire.com/?bmiffnm22mu
• Derive: http://www.mediafire.com/?zv8zumycmmf (Para instalar: ejecutar el archivo ‘Derive 6.1 trialsetup‘, instalar el programa. Luego, copiar los elementos que están dentro de la carpeta ‘crack‘ a la carpeta dónde hayan instalado el programa. Finalmente, ejecutar el archivo ‘key. reg‘ y clickear en aceptar.)

Para extraer los archivos necesitan algun programa que soporte la extensión ‘.rar’. Uno de ellos es el famoso “WinRar”.

Nota

Hay modificaciones en las fechas del ciclo lectivo.

♣ Ver Calendario 2008. ♣
 

T.P. 1

Trabajo práctico adicional a las prácticas 1 y 2 del cuadernillo.

∞   T.P. 1

En la medida en que las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas.

Y en la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad.

Albert Einstein, Geometry and Experience

Viajando por un sueño

[Texto extraído de los capítulos 1 y 2 del libro “MUCHO, POQUITO, NADA. Un pequeño paseo matemático” (Ed. Norma, 2007), Pablo Amster]

En una conferencia sobre los cuentos de Las mil y una noches, el escritor argentino Jorge Luis Borges contó la historia de un hombre que vive apaciblemente en El Cairo, hasta que un día, en sueños, se le aparece una voz que le dice:

Dirígete a la ciudad de Isafán y busca la mezquita; allí encontrarás un tesoro.

El sueño se repite algunas veces, hasta que el hombre decide emprender el viaje. Claro que una travesía semejante entraña algunos riesgos: durante el trayecto, su caravana es asaltada y se salva por un pelo de perder la vida. Después de muchas penurias, llega a Isafán agotado y sin un céntimo, y resuelve pasar la noche en la mezquita, sin saber que en realidad era una guarida de ladrones. Finalmente es capturado por la policía, que lo lleva ante el cadí (juez). El hombre cuenta su historia y entonces el funcionario se burla de él:

“Extranjero ingenuo, quiero que sepas que ya he soñado tres veces que debo ir a El Cairo y buscar una casa que tiene un jardín, en el jardín una fuente, un cuadrante solar y una vieja higuera, y bajo la higuera un tesoro. Jamás le di crédito, y tu relato termina de confirmarme que no me equivoqué. Toma este dinero, vuelve a tu casa y cuídate en adelante de los sueños que te envía el Maligno”.

El hombre le da las gracias y regresa a su casa. Una vez allí, se dirige al jardín, cava bajo a la higuera, entre la fuente y el cuadrante solar, y encuentra el tesoro.

Uno de los atractivos de la historia reside en que cada uno de los personajes entiende los hechos a su manera, y se siente inmensamente feliz por la decisión que ha tomado. El hombre que llega de El Cairo comprende, a poco de escuchar al cadí, que su sueño era cierto y vuelve a su casa ansioso por tomar la pala cuanto antes. Pero el cadí está en peor situación; ante los ojos del lector, su jactancia por no haber creído en su sueño se parece a la actitud de aquel fumador empedernido que, angustiado por las noticias en los diarios sobre los riesgos del cigarrillo, decide dejar… de leer el diario.

Pronto comprendemos que el verdadero tesoro es la información. Para el cairota nada es más fácil que creer en lo que le dice el cadí: ¿era posible que no lo hiciera, si lo que estaba describiendo era su propia casa? Pero además, al margen de la gratificante noticia de ver confirmado su sueño, la respuesta del cadí le permite ahorrarse el esfuerzo de andar con su pala de aquí para allá hasta acertar a cavar junto a la higuera.

Al cadí, en cambio, no le es tan fácil creer. No necesita en realidad grandes tesoros, pues goza de una aceptable situación económica en Isafán. Por eso quizás el sueño no termina de convencerlo; al fin y al cabo debe haber pensado: más vale pájaro en mano que cien volando. Sin embargo, le cabe cierto grado de responsabilidad, por no haber sabido leer el mensaje; podría haber pensado: ¿no es mucha coincidencia que un tipo que viene de tan lejos haya soñado algo tan parecido a lo que vengo soñando yo últimamente? Algo similar le ocurrió al último rey de Lidia, el noble Creso, famoso por sus riquezas. Ante el avance de los persas, Creso decidió consultar al oráculo de Delfos en busca de asesoramiento. Los dioses no suelen atender personalmente consultas de esta clase, y menos a la hora del almuerzo, pero por medio de una pitonisa le transmitieron el siguiente mensaje:

Si conduces un ejército hacia el Este y cruzas el río Halis, destruirás un imperio.

Envalentonado por esta respuesta, Creso se alió con otros reyes para formar un poderoso ejército y enfilar hacia el Este. Pero fue derrotado en la llamada batalla del río Halis: de esta forma el imperio lidio fue destruido, y se cumplió la profecía del oráculo. Claro, si la respuesta de los dioses hubiera sido menos ambigua, Creso no habría metido la pata de tal manera; de la misma forma, seguramente el cadí habría sospechado algo si el cairota hubiera comenzado su relato diciendo:

Vea señor Cadí, hace unas semanas salí de mi casa en El Cairo para venirme hasta aquí… Dejé a mi mujer al cuidado del jardín, para que me riegue la higuera y cada tanto pase una esponjita a los azulejos de la fuente cerca del cuadrante solar. Ya sabe cómo se junta el sarro…

Volviendo al cuento: ¿qué significa tomar la decisión adecuada? Si la respuesta es “sentirse contento por el resultado obtenido”, entonces los dos, tanto el cadí como el cairota, han elegido bien. A grandes rasgos, eso es lo que plantea el matemático Ivar Ekeland:

El cadí morirá en Isafán burlándose de los ingenuos que hacen un viaje tan largo en busca de un tesoro que no existe, y el cairota se regocijará toda su vida por haber creído en su sueño. Ambos, cada uno a su manera, obtuvieron una anticipación perfecta.

Este comentario aparece en el libro Al azar, de donde fue tomada la versión del cuento tal como la presentamos aquí. Aunque algunas ediciones de Las mil y una noches la incluyen, de diferentes maneras, en la noche 351: La historia del hombre que se volvió rico a través de un sueño. No es fácil determinar cuál de todas las versiones es la original; una búsqueda así resultaría más complicada que la del propio tesoro.

Vamos a dar todavía un nuevo giro a la historia del cairota. En cierto sentido, podemos decir que allí se resume la verdadera esencia de la matemática. Porque, en el fondo, ¿qué es la matemática? Muchas cosas se dicen sobre ella, pero cuando se trata de definirla, no resulta fácil. En general, todo el mundo la entiende como una ciencia, aunque hay quienes afirman que se trata apenas de un lenguaje, o tal vez un arte.

A partir de la historia, podemos ensayar una nueva definición, cuyo sentido intentaremos hacer más manifiesto a lo largo de este libro. Una definición bastante simple; también algo audaz y, por cierto, inexacta.

Quizás podríamos catalogar a la búsqueda matemática de “aventura” y compararla con la de aquel hombre que recorrió medio continente en procura de un tesoro. Un tesoro que, por otra parte, finalmente halló en su propia casa, lo que casi equivale a decir: dentro de sí. A veces hace falta alejarse un poco para ver lo que uno tiene ahí nomás, bajo la higuera… Hasta puede llegar a plantearse que el verdadero tesoro es el propio viaje: el hombre vuelve a casa y descubre lo mucho que ha aprendido. Ya no es el mismo; su travesía a Isafán lo hizo crecer espiritualmente y entender que cien pájaros volando valen mucho más que uno en mano, pues la mayor belleza de un pájaro se encuentra justamente en su vuelo.

Esto recuerda aquella historia en la que un pagano pide a un estudioso de los textos sagrados que le muestre el paraíso. En sueños, el estudioso lo lleva a un lugar en donde se encuentra un anciano, uno de los más grandes sabios, leyendo. El pagano le pregunta: ¿cómo es esto? Este hombre se ha pasado la vida estudiando y, una vez que se encuentra en el paraíso, ¿tiene que seguir haciéndolo? El estudioso le responde: sí, pero ahora él comprende.

Esta hermosa leyenda se aplica muy bien a lo que estamos diciendo, en especial si se tiene en cuenta el trabajo que suele dar adentrarse en algunos de los “misterios” matemáticos. Pero en esa dificultad reside gran parte de su poder, y una vez que uno “comprende” puede sentirse realmente en el paraíso. Por eso se ha comparado a la matemática con la poesía, sobre la cual la lingüista Julia Kristeva escribió:

La incapacidad para entender, inicialmente, un fragmento de lenguaje poético, es el primer indicio de su poder para abrir nuevas formas de entendimiento.

Pero todas estas ideas pueden resumirse aun más, tanto que su esencia cabe en una sola frase.

Se trata de algo verdaderamente simple; nada de buscar definiciones pomposas, ni eruditas. En estas páginas vamos a decir, sencillamente, que la matemática es el resultado de dejarse llevar por un sueño.

Seguramente eso implicará soportar penurias; un camello que cada tanto se empaca, arena que entra en los ojos, el viento que se lleva nuestro turbante…

El objeto de este libro consiste en mostrar que, tal como ocurre en el cuento, la aventura vale la pena.

Pablo Amster

La matemática es una belleza

Contra lo que suponen quienes han padecido llevándose la materia siempre a marzo, la matemática -como un instrumento bien tocado- puede abrir las puertas a todas las artes y a las mayores sensibilidades.

Más que la lógica, es la estética el elemento dominante en la creatividad matemática.
Henri Poincaré

Existe un problema de carácter no matemático que los matemáticos no aciertan a resolver. Cualquiera que se dedique a esta actividad aceptará sin esfuerzo la sugestiva afirmación del epígrafe, en especial si se le dice que proviene de una pluma tan ilustre, cuyas ideas anticiparon, entre otras cosas, la famosa teoría de la relatividad.

Sin embargo, una vez asumido el hecho de que la matemática puede convertirse en una experiencia estética, ¿cómo hacer para transmitirla a quienes no han vivido en carne propia los goces de tal experiencia? Para ellos la cita de Poincaré carece de sentido; se trata de la descabellada idea de un matemático.

Incluso, para muchos, la matemática no es más que un padecimiento que se convierte, con el correr de los años, en un amargo recuerdo adolescente.

Otros ni siquiera tienen tanta suerte, pues los curiosos antojos del destino vuelven a ponerlos frente a sus austeros enunciados en el seno de las más variadas disciplinas, en las que esta aparición podría parecer inesperada: el arte, la filosofía, la medicina o el psicoanálisis, por citar algunas. Hasta en la religión la matemática se hace presente, tanto en las complejas reglas que rigen la interpretación bíblica, como en los insondables misterios de la Cábala y el misticismo.

El problema se profundiza ante el innegable hecho de que, además de estética, la matemática ha mostrado ser una herramienta indispensable, no sólo por sus múltiples aplicaciones, sino también porque constituye la base de todo pensamiento abstracto. Ningún programa educacional, por audaz que sea, puede darse el lujo de excluirla por completo.

Volvemos entonces a la desagradable escena de un gran número de estudiantes sufriendo, año tras año, la misma tortura. Algunos comprenden que la matemática es útil para entender otras cosas, que son las que en verdad les interesan, y la estudian como quien toma un medicamento; otros ni siquiera eso.

Pero la matemática es, además de útil, un fin en sí mismo, y como tal debería ser aprendida. Puede pensarse que su belleza está destinada a unos pocos, y que quienes no son capaces de admirarla deben limitarse a superar sus escollos de la mejor manera posible.

Esto no es así; como la música, la matemática puede ser apreciada por cualquiera, siempre que se le den los medios adecuados para acceder a sus encantos.

De la misma forma en que resultaría absurdo pretender que alguien aprenda la notación musical o las reglas de la armonía sin decirle que ésa es la forma indicada de ejecutar o componer una pieza, la belleza matemática debería funcionar como una motivación casi necesaria para adentrarse en sus laberintos.

Así se descubrirá que dichos laberintos no lo son tanto. En el fondo, no es más que un problema de lenguaje: la matemática no es otra cosa que un lenguaje bien hecho.

La tarea consiste, entonces, en buscar la manera de ejercitarse en el empleo de este lenguaje, inducido por los secretos paraísos que promete.

Cuenta una leyenda que un pagano le pide a un estudioso de la Biblia que le muestre el Paraíso. El estudioso lo lleva, en sueños, a un lugar en donde se encuentra un anciano, uno de los más grandes sabios, leyendo los textos sagrados. El pagano le pregunta: “¿Cómo es esto? Este hombre se ha pasado la vida estudiando y, una vez que se encuentra en el Paraíso, ¿debe seguir haciéndolo?” El estudioso le responde: “Sí, pero ahora él comprende”.

Un elemento central de la matemática es la demostración, aunque antes de ponernos a demostrar debemos hacer el sutil esfuerzo de mostrar algunas de sus ideas, presentarlas de un modo simple. De nada sirve hablar de grandes maravillas a quien no está preparado para verlas.

Como matemático, no puedo hablar más que desde mi propia experiencia y narrar mi pasión por este mundo cargado de axiomas, fórmulas y teoremas. Pero hablar no es sólo dar clase o publicar textos de enseñanza, sino básicamente conversar: conversar con todo el mundo; con científicos, educadores e intelectuales, pero también con pintores, músicos, cineastas o poetas, interesarse en sus preguntas y brindar lo que se pueda. A veces respuestas y otras, la mayoría, nuevas preguntas.

No es aventurado afirmar que de esta clase de diálogos entre disciplinas han surgido algunas de las obras más conmovedoras del pensamiento humano.

Para buscar un ejemplo cercano, basta recorrer una vez más las páginas de Borges, de cuyo deslumbramiento por la matemática nos hablan sus juegos de espejos y paradojas lógicas. Quizá todo se pueda resumir en aquella minúscula esfera que encierra todos los secretos, ese lugar “donde están, sin confundirse, todos los lugares del orbe, vistos desde todos los ángulos” y para el que Borges eligió aquella denominación que los matemáticos emplean para referirse a sus conjuntos infinitos: el Aleph.

Pablo Amster
(Texto publicado por el diario Clarín el 13/12/2004)

Nota

Pablo Amster

Nació en Buenos Aires en 1968. Es Doctor en Matemática de la Universidad de Buenos Aires, en la cual se desempeña actualmente como Profesor Adjunto del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Es investigador del CONICET. Publicó numerosos trabajos de investigación científica, y colaboró en diferentes proyectos en universidades argentinas y extranjeras. Además, ha dictado conferencias y seminarios de divulgación, y escribió diversos textos destinados al público no matemático.